Наша школа:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Коврова
«Средняя общеобразовательная школа № 14 имени Георгия Семеновича Шпагина»
| Наша страница |
Дроби нас окружают всюду, просто мы не всегда их замечаем. Без знания дробей наша современная жизнь была бы просто невозможна. Дроби - это неотъемлемая часть нашей жизни. Наверное, некоторые с нами будут спорить на эту тему, потому что считают, будто дробям нет места в нашей жизни. Но мы постараемся доказать свою точку зрения, аргументируя конкретными примерами. Впервые мы встретились с дробями ещё в раннем детстве, когда, будучи дошколятами, делились со своими друзьями дольками апельсина, мандарина или шоколадки...
| Скачать |
Аликвотная дробь - это дробь вида 1/n, где n - натуральное число.
Единичные или аликвотные дроби широко использовали в Древнем Египте, поэтому в дальнейшем их стали называть египетские дроби.
Аликвотные дроби египтяне считали основными.Для обозначения этих аликвотных дробей египтяне писали число, которое мы ставим в знаменателе, а над ним (или перед ним) помещали знак ᴑ, который означал также и определенную меру емкости. Вот так записывались дроби в египетских письмах:
Египтяне все дроби записывали как суммы долей, т.е. дробей вида 1/n и даже сами аликвотные дроби стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Правилом египтян было отсутствие в ряду дробей повторяющихся чисел.
Египтяне записывали числа в десятичной не позиционной системе счисления. Об этом свидетельствуют расшифровки папирусов учеными. В папирусе Ахмеса имеются специальные имеются специальные таблицы для представления всех дробей вида с числителем 2 и нечетными знаменателями от 5 до 99, представленных в виде суммы единичных дробей.
Разложение обыкновенных дробей в виде суммы аликвотных дробей:
Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д. по формуле:
Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д. по формуле:
Вывод:
В наше время аликвотные дроби продолжают изучать в теории чисел и истории математики. Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями и достигли больших успехов в этом направлении. Аликвотные дроби используют при решении нестандартных и олимпиадных задач.
Шумерская, а затем и вавилонская система исчисления базировалась на числе 60. Почему именно это число было взято за основу остается загадкой. Кто-то считает, что это происходит из расчета пяти пальцев на руке умноженное на 12, количество месяцев в году и созвездий зодиака (5 х 12 = 60). Некоторые другие историки связывают данный факт с аккадским завоеванием: у последних были в ходу две денежно-весовые единицы – шекель и мина. При этом одной мине соответствовало 60 шекелей. Возможно поэтому подобная шестидесятеричная система счисления была навязана аккадскими завоевателями.
Шестидесятеричная система счисления в Вавилоне была одной из самых древних: считается, что она была изобретена шумерами аж в III тыс. до н.э., а затем использовалась и в Древнем Вавилоне, а затем и арабами. Также эта система счисления использовалась астрономами, так как, во-первых, в наследство от древних вавилонян, которые очень увлекались наблюдением за ночным небом, осталось много глиняных табличек с астрономическими данными, а во-вторых, данная система была весьма удобна для подсчета углов. Отголоски шестидесятеричной системы исчисления мы наблюдаем и до сих пор: в подсчете времени, где в одной минуте – 60 секунд, в одном часе – 60 минут.
602 = 3600; 603 = 216 000 и т.д., которые назывались систематическими дробями. Вавилоняне умели записывать любые дроби, любые части целого. Египтяне этого делать не умели.
Система шестидесятеричных дробей была не только национальным достижением вавилонской культуры, греческие астрономы заимствовали её от вавилонских, отсюда и произошло шестидесятеричное градусное измерение углов, шестидесятеричное деление времени и в создании десятичных дробей система шестидесятеричных дробей сыграла – в качестве образца – тоже немаловажную роль. Старая вавилонская система лучше подходит для точных тригонометрических расчётов поскольку современная десятичная допускает слишком большую погрешность. Шестидесятеричное исчисление - это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и она продолжает применяться и в наше время — это деление круга на 360 градусов, и в делении суток на 24 часа, года на 12 месяцев, фута на 12 дюймов, и в существовании дюжины, как меры количества. Зодиак также был изобретением шумеров. Шумеры использовали знаки зодиака в чисто астрономическом смысле отклонения земной оси, движение которой делит полный цикл прецессии в 25 920 лет на 12 периодов по 2160 лет.
Гипотезы о причинах возникновения
шестидесятеричной системы счисления
Шумерская, а затем и вавилонская система исчисления базировалась на числе 60. Почему в Вавилоне в качестве основания системы счисления было выбрано такое большое число 60? На этот счет существует несколько гипотез. Наиболее правдоподобной представляется следующая. Население Вавилонского царства было смешанным, и вавилонская культура сложилась в результате слияния культур нескольких народов. В частности, нужно было переводить меры одного народа в меры другого. Например, если у четырех народов применялись системы мер с основаниями 5, 10, 12 и 20, то наиболее удобным числом для такого перевода было 60 – наименьшее общее кратное этих чисел.
1.Теон Александрийский (конец 4 и начало 5 века н.э.)
Теон полагает, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.2. Гипотеза Тюро-Данжена (1932)
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
3. Гипотеза Нейгебауера (1927)
Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.4. Гипотеза Веселовского И.Н. (1959)
Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
5. Гипотеза Кевича (1904)
Кевич предполагает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестеричную систему.1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Это число было выбрано очень удачно: результаты деления на числа, не содержащие других простых множителей, кроме 2, 3 и 5 выражались конечными шестидесятеричными дробями, что было крайне важно для практических вычислений.
Назначение клинописных математических вавилонских таблиц
Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология. Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора.
Как и в египетских текстах, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что общая математическая теория у вавилонян несомненно была. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
Происхождение римской системы дробей
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель равен 12. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д.
Для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия:
“скрупулус” - 1/288 асса, ”семис”- 1/2 асса,
“секстанс”- 1/6 асса, “семиунция”- 1/2 унции или 1/24 асса.
С римской системой дробей связаны примеры из нашей современной устной речи:
- три унции назывались четвертью,
- четыре унции – третью,
- шесть унций – половиной.
Унция обозначалась чертой - , половина асса (6 унций) – буквой S (первой в латинском слове Semis-половина). Эти два знака служили для записи любой двенадцатеричной дроби, каждая из которых имела свое название. Например, дробь 7/12 записывалась так: S-.
С двенадцатеричной системой мы встречаемся и в быту: в сервиз на 12 персон, входит по 12 чашек и 12 блюдец, на циферблате часов 12 чисел, в году 12 месяцев, 12-летний цикл в названиях месяцев по китайскому календарю, и Во многих странах даже теперь некоторые товары, например ножи, ложки, вилки, продают дюжинами. даже яйца за границей продают по 12 штук в отличие от наших десятков.
До сих пор пользуются в системе мер и в денежной системе остатками римской системы дробей, например : в Англии. Элементы двенадцатеричной системы сохранились там и по настоящее время.
В системе мер 1 фут=12 дюймам.
В денежной системе 1 шиллинг=12 пенсам.
