3 этап
Numeri fracti по-русски«Несть сё дивно, что в целых, а то похвально, что в долях...» Из славянской рукописи XVI века.
Система древнерусских дробей
Дроби возникли в связи с практической деятельностью людей, но результат измерения не всегда был выражен натуральным числом, поэтому приходилось учитывать и части употребляемой меры.
В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В Древней Руси дроби называли долями, а затем ломаными числами. В начале это были конкретные дроби, части известных единиц.
Название «ломаное число» существовало и в других странах. Оно ведет свое начало от арабов. В Европе это название распространилось благодаря работам Фибоначчи.
Учёный монах Кирик Новгородец
Дощаный счет
Первоначально дощаный счет был довольно громоздким прибором, содержащим четыре вычислительных поля, представлявших собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками — для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер емкостей и весов. В отличие от современных счетов, дощаный счет имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями. Изначально устройство для дощаного счета состояло из двух соединенных между собой ящичков, каждый из которых разделялся перегородкой на два отделения. Наличие четырех отделений позволяло откладывать на доске не только условие решаемой задачи, но и необходимые промежуточное расчеты.
Постепенно устройство для дощаного счета упрощается, и уже в первой половине XII века наиболее распространено устройство с двумя счетными полями, в котором только нижние ряды, использующиеся для работы с дробями, делятся на четыре отделения, а полные ряды содержат по десять костяшек. Образец таких счет хранится в Государственном историческом музее в Москве и датируется серединой XVII века.
К концу XII века прибор для «дощаного счета» утратил неполные ряды, содержащие по одной костяшки (или по две костяшки, в вариантах устройств, где вместо одной костяшки использовалось две). Следующему серьезному изменению «дощаный счет» подвергся в начале XVIII веке, когда в России получила распространение десятеричная позиционная система счисления. С помощью новой системы записи чисел вычисления на бумаге стали удобнее, чем с помощью «дощаного счета». Вследствие чего, этот прибор перестал быть универсальным устройством для счета и перешел в разряд вспомогательного.
Вскоре устройство для «дощаного счета» приобрело вид современных русских счет.
Принципы действия устройств типа «дощаного счета» были изучены известным историком-нумизматом И. Г. Спасским, но несмотря на внимание историков науки к дощаному счету, он не до конца изучен. «Дощаный счет» представлял собой разновидность усовершенствованного абака с несколькими вычислительными полями и закрепленными на прутьях или шнурах счетными элементами — «костями». И. Г. Спасский высказал важное соображение, что на Руси издавна был известен абак архаичного типа (без закрепления счетных элементов на вычислительной доске). Он считал, что окончательный переход в России на инструментальный счет типа дощаного счета произошел к середине XVII в.: «Но к середине XVII в. «досчаный счет» (счеты) взял верх и получил всеобщее распространение на всей территории Русского государства».
К XVI в. в русской арифметике на смену «буквенной» нумерации приходила современная система записи чисел.
Названия древнерусских дробей
Основными из древнерусских дробей считались простейшие дроби 1/2 - «половина» и 1/3 - «треть». В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх. Дроби выражались словами, некоторые из них сохранились и до сих пор. Отдельные дроби называли весьма своеобразно:
- 1/2 - половина, или полтина
- 1/3 - треть
- 1/4 - четь, или четверть
- 1/6 - полтрети
- 1/8 - полчети, или полчетверти
- 1/12 - полполтрети
- 1/16 - полполчети
- 1/24 - полполполтрети
- 1/32 - полполполчети
- 1/7 - седмина
- 1/5 - пятина
- 1/10 - десятина и т. д.
Так появляются понятия: полтрети коробьи, полчетверти зобницы, пол-деньги и т. д. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.
Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая –
получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например, 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».
«Арифметика» Л. Ф. Магницкого
Л. Ф. Магницкий подробно рассказал, как производить действия с обыкновенными дробями.
Буквенная нумерация находилась на Руси в употреблении вплоть до XVIII в., когда в рамках петровских преобразований она была заменена системой современных индо-арабских чисел. Как известно, последняя нумерация стала входить в русскую жизнь еще в XVI–XVII вв., главным образом через рукописные варианты «Цифирной счетной мудрости».
Еще в XVII веке дроби записывали при помощи букв славянского алфавита и только в XVIII веке перешли на современные цифры.
Сошная арифметика
Служила для описания земельных владений в городах и сельских местностях для поземельного обложения в России XV-XVII веков. Древнейшими сохранившимися памятниками сошного письма являются описания новгородских пятин, осуществленные в 90-х гг. XV века после присоединения Новгорода к Москве.
Известно, что при Иване III такие же описания производились и в других присоединенных землях. Этот порядок предусматривало измерение земельных площадей (в городах - застроенных дворами), перевод полученных данных в условные податные единицы (сохи) и определение размера прямых налогов.
Введение «большой сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.
Сошная арифметика решала две основные задачи:
1) разработка арифметической системы действий с дробями для обеспечения возникающих вычислительных нужд,
2) «привязывала» эту арифметическую систему к инструменту, посредством которого можно было более рационально выполнять необходимые подсчеты.
Книга Марка Аркадьевича Цайгера посвящена важному, сложному и недостаточно изученному вопросу истории русской математики — сошным дробям. М. А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: “Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи”. В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24= = 1/3+1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога
с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности
(пашни, леса, луга и пр.).
«Сошное письмо» предназначалось для реализации разработанного практически «с нуля» и осуществленного правительством Ивана Грозного в середине XVI в. государственного проекта «Большая Соха» по налоговому обложению огромных земельных угодий России.
Введение «Большой Сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.
Землю измеряли в четвертях, десятинах и их частях, а результат переводили в сохи или её части. Но соха не имела постоянный размер, а зависела от качества земли: 1 соха = 800 четвертям хорошей, 1000 четвертям средней и 1200 четвертям плохой земли. Наряду с сохой в качестве окладной единицы применялась выть, которая составляла 12 четвертей хорошей, 14 –средней и 16 – плохой земли. При этом существовал принцип «одабривания» определённое количество четвертей средней и плохой земли приравнивалось к соответствующему количеству хорошей земли. Сохи, четверти, трети и выти делились на части, кратные 2 и 3 и назывались соответственно «пол» 1/2, «треть» 1/3, «четверть» 1/4, «полчетверти» 1/8, «полтрети» 1/6, «полполчетверти» 1/16 и т. д. Действия над такими дробями приводились к действиям с целыми числами.
Основным измерительным инструментом, который использовали писцы, была мерная верёвка. Одна из них была длиной 80 саженей, другая – 30, образуя тем самым 2 400 четвероугольных саженей, или десятину. Десятина используется и в наши дни, десятины были казённые и хозяйственные. На Руси использовалась земельная мера четверть и получетверть, которую называли – осьмина.
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Примеры именования современных дробей в соответствии с древнерусскими правилами:
7/12 = 1/3 + 1/4 треть да четверть
7/24 = 1/6 + 1/8 полтрети да полчерверти
3/32 = 1/8 - 1/32 полчетверти без полполполчетверти
7, 5/6 восемь без полтрети
5, 1/4 пять с четвертью
